Lekcja 3 — Zależność liniowa

Modelowanie matematyczne w informatyce · kl. III LO

Co to jest zależność liniowa?

Zależność liniowa to relacja między dwiema zmiennymi, którą można zapisać wzorem:

y = a · x + b

Zależności liniowe są powszechne w ekonomii, inżynierii i codziennych obliczeniach — np. rachunki za telefon, ceny usług naliczane za jednostkę czasu, koszt paliwa przy stałej cenie za litr.

Przykłady praktyczne

  • Koszt hulajnogi: opłata startowa 2 zł + 0,50 zł za minutę → y = 0.5x + 2.
  • Koszt rozmowy telefonicznej: opłata początkowa 1 zł + 0,20 zł za minutę → y = 0.2x + 1.
  • Zużycie paliwa (przy stałym spalaniu): paliwo [l] = spalanie [l/km] · km + ewentualna strata → y = a·x + b.
  • Opłata za taksówkę: opłata startowa + cena/km → y = cena_km·x + start.

Interpretacja współczynników

W przykładzie hulajnogi (y = 0.5x + 2):

  • a = 0.5 — każda dodatkowa minuta zwiększa koszt o 0,50 zł (tempo przyrostu),
  • b = 2 — opłata startowa (koszt przy x = 0).

Jak otrzymać a i b z danych?

Jeśli znamy dwie pary punktów (x1, y1) i (x2, y2), to:

a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
b = y1 - a * x1

(Przykład: jeśli 0 minut kosztuje 2 zł, a 10 minut kosztuje 7 zł → a = (7-2)/(10-0) = 0.5, b=2)

Kod — implementacje

Python

def funkcja_liniowa(x, a=0.5, b=2):
    return a * x + b

print(funkcja_liniowa(15))  # 9.5

JavaScript

function f(x, a, b){
  return a * x + b;
}
console.log(f(15, 0.5, 2)); // 9.5

Jak używać wykresu w zadaniu domowym

  1. Wprowadź wartości a, b i naciśnij "Narysuj wykres".
  2. Sprawdź, jak zmienia się wartość y przy różnych x.
  3. Użyj wykresu, aby wizualnie dobrać przybliżone wartości a i b z kilku punktów danych.

Propozycje zadań